statistik:gini_liga_koeffizient

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statistik:gini_liga_koeffizient [2018/05/23 21:57] – adminstatistik:gini_liga_koeffizient [2018/06/21 19:54] – admin
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-===== Gini-Koeffizient für Ligen =====+==== Gini-Koeffizient für Ligen ====
 In der Ökonomie beschreibt der [[https://en.wikipedia.org/wiki/Gini_coefficient|Gini-Koeffizient]] die Ungleichheit einer //Einkommensverteilung// in der Bevölkerung. Wir wollen den //Gini-Koeffizienten// auf Liga-Tabellen anwenden und als //Einkommen// die //Liga-Punkte// $P_n$ der $n=1,...,N$ Teams verwenden. Bei der Anwendung auf Liga-Tabellen gibt es Besonderheiten zu berücksichtigen. Zum einen ist die Größe $N$ eine kleine Zahl im Bereich von $N\simeq 10-20$, zum anderen ist das minimale und maximale //Gesamteinkommen// eindeutig festgelegt. Des Weiteren können bedingt durch die Regeln der Punktevergabe nicht alle Punkteverteilungen realisiert werden.  In der Ökonomie beschreibt der [[https://en.wikipedia.org/wiki/Gini_coefficient|Gini-Koeffizient]] die Ungleichheit einer //Einkommensverteilung// in der Bevölkerung. Wir wollen den //Gini-Koeffizienten// auf Liga-Tabellen anwenden und als //Einkommen// die //Liga-Punkte// $P_n$ der $n=1,...,N$ Teams verwenden. Bei der Anwendung auf Liga-Tabellen gibt es Besonderheiten zu berücksichtigen. Zum einen ist die Größe $N$ eine kleine Zahl im Bereich von $N\simeq 10-20$, zum anderen ist das minimale und maximale //Gesamteinkommen// eindeutig festgelegt. Des Weiteren können bedingt durch die Regeln der Punktevergabe nicht alle Punkteverteilungen realisiert werden. 
  
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-==== Definition des Gini-Koeffizient ====+=== Definition des Gini-Koeffizient ===
 Die Definition des [[https://en.wikipedia.org/wiki/Gini_coefficient|Gini-Koeffizient]] $G_N$ ist gegeben durch: Die Definition des [[https://en.wikipedia.org/wiki/Gini_coefficient|Gini-Koeffizient]] $G_N$ ist gegeben durch:
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 Diese Darstellung ist der Ausgangspunkt der folgenden Betrachtungen. Schauen wir uns zunächst die klassischen EIgenschaften an. Diese Darstellung ist der Ausgangspunkt der folgenden Betrachtungen. Schauen wir uns zunächst die klassischen EIgenschaften an.
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-==== Eigenschaften des Gini-Koeffizienten ====+=== Eigenschaften des Gini-Koeffizienten ===
 Die für die Interpretation wichtigen Eigenschaften sind: Die für die Interpretation wichtigen Eigenschaften sind:
  
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-==== Punkteverteilungen in Ligen ====+=== Punkteverteilungen in Ligen ===
 Die Frage ist: Wie sieht die Punkteverteilung $\hat{\cal{P}}$ aus, die $G_N({\cal{P}})$ maximiert? Die Beantwortung dieser Frage ist nicht trivial und ebenso die allgemeine Beweisführung, auf die wir an dieser Stelle verzichten. Stattdessen betrachten wir eine Serie von Punkteverteilungen in der Form: Die Frage ist: Wie sieht die Punkteverteilung $\hat{\cal{P}}$ aus, die $G_N({\cal{P}})$ maximiert? Die Beantwortung dieser Frage ist nicht trivial und ebenso die allgemeine Beweisführung, auf die wir an dieser Stelle verzichten. Stattdessen betrachten wir eine Serie von Punkteverteilungen in der Form:
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-==== Der maximale Gini-Koeffizient in Ligen ==== +=== Der maximale Gini-Koeffizient in Ligen ===
 **Conjecture** **Conjecture**
  
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-==== Liga-Koeffizient ====+=== Liga-Koeffizient ===
  
 Da der maximale //Gini-Koeffizient// deutlich unterhalb von 1 liegt, definieren wir den **normierten** //Gini-Koeffizienten//: Da der maximale //Gini-Koeffizient// deutlich unterhalb von 1 liegt, definieren wir den **normierten** //Gini-Koeffizienten//:
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 Die linke Grafik zeigt die oben diskutierten Verteilungen ${\cal{P}}_{0},{\cal{P}}_{1},{\cal{P}}_{N-1}$ und ${\cal{P}}_{N/2+1}$ für $N=18$. Die rechte Grafik zeigt den Verlauf der 1. und 2.Bundesliga für die Saison 17/18. Die zweite Liga war deutlich ausgeglichener, dies spiegelt sich in den $\hat{G}_N$-Werten von 0.417... zu 0.218... klar wieder.    Die linke Grafik zeigt die oben diskutierten Verteilungen ${\cal{P}}_{0},{\cal{P}}_{1},{\cal{P}}_{N-1}$ und ${\cal{P}}_{N/2+1}$ für $N=18$. Die rechte Grafik zeigt den Verlauf der 1. und 2.Bundesliga für die Saison 17/18. Die zweite Liga war deutlich ausgeglichener, dies spiegelt sich in den $\hat{G}_N$-Werten von 0.417... zu 0.218... klar wieder.   
  
-An dieser Stelle sei noch bemerkt, die erreichte Gesamtpunktzahl $E:=N\langle {\cal{P}}\rangle$ geht in die Definition des //Giri-Koeffizienten// im Nenner ein. Für die oben diskutierten Verteilungen ${\cal{P}}_\ell$ variiert dies deutlich und ist der Mitgrund dafür, dass eine //untypische// Verteilung ${\cal{P}}_{N/2+1}$ existiert, die den //Gini-Koeffizient// maximiert. In der Praxis gibt es, wie auch in der rechten Grafik zu erkennen ist, eine nur sehr schwache Variation von $E$. Für die erste Liga lage der Wert in den letzten 6 zurückliegenden Spielzeiten bei $\langle E \rangle = 0.918 \pm 0.008$.  +An dieser Stelle sei noch bemerkt, die erreichte Gesamtpunktzahl $E:=N\langle {\cal{P}}\rangle$ geht in die Definition des //Gini-Koeffizienten// im Nenner ein. Für die oben diskutierten Verteilungen ${\cal{P}}_\ell$ variiert dies deutlich und ist der Mitgrund dafür, dass eine //untypische// Verteilung ${\cal{P}}_{N/2+1}$ existiert, die den //Gini-Koeffizient// maximiert. In der Praxis gibt es, wie auch in der rechten Grafik zu erkennen ist, eine nur sehr schwache Variation von $E$. Für die erste Liga lage der Wert in den letzten 6 zurückliegenden Spielzeiten bei $\langle E \rangle = 0.918 \pm 0.008$.  
  
-==== Fazit ====+=== Fazit ===
 Den **normierten** //Gini-Liga-Koeffizienten// $\hat{G}_N$ werden wir in weiteren Vergleichen von Ligen als Maß für die //Ungleichheit// der Liga verwenden, ob die Werte den subjektiven Einschätzungen entsprechen, muss dann gesehen werden.     Den **normierten** //Gini-Liga-Koeffizienten// $\hat{G}_N$ werden wir in weiteren Vergleichen von Ligen als Maß für die //Ungleichheit// der Liga verwenden, ob die Werte den subjektiven Einschätzungen entsprechen, muss dann gesehen werden.    
  
  
 {{tag>statistik gini}} {{tag>statistik gini}}
  • Zuletzt geändert: 2018/06/21 19:59
  • von admin